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| 編輯推薦： |
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普通工科学校本科生的公共课教材或者研究生的教材，也可作为相关学科学习者的参考资料。
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| 內容簡介： |
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《概率论与建模（第二版）》遵循高等院校教学指导委员会关于概率论与数理统计课程的教学基本要求编写而成，《概率论与建模（第二版）》共9章，分别是随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验和方差分析和回归分析。
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| 目錄：
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目录
再版前言
第1章随机事件与概率1
1.1随机事件及其运算1
1.2概率的直观意义及其运算7
1.3概率的公理化定义及其性质12
1.4条件概率与全概率公式15
1.5事件的独立性20
1.6初等概率模型25
习题1 32
第2章随机变量及其分布34
2.1随机变量与分布函数的概念34
2.2离散型随机变量36
2.3随机44
2.4随机函数的分52
2.5泊松流与排队论55
习题2 63
第3章多维随机变量及其分布66
3.1多维随机变量的概念66
3.2二维离散型随机变量68
3.3二维连续型随机变量75
3.4二维随机变量函数的分布82
3.5保险理赔总量模型87
习题3 89
第4章随机变量的数字特征93
4.1数学期望93
4.2方差98
4.3协方差及相关系数102
4.4风险决策108
习题4 116
第5章大数定律与中心极限定理118
5.1数定118
5.2中心极限定理122
5.3高尔顿钉板试验126
习题5 130
第6章数理统计的基本概念132
6.1总体与样本132
6.2统计量134
6.3抽样分布136
6.4随机模拟143
习题6 150
第7章参数估计152
7.1点估计方法152
7.2估计量的评选标准158
7.3区间估计162
7.4敏感问题的调查174
习题7 177
第8章假设检验179
8.1假设检验的基本概念179
8.2正态总体均值的检验182
8.3正态总体方差的检验187
8.4关于一般总体数学期望的假设检验192
8.5非参数Z2检验194
8.6子样容量的确定198
习题8 202
第9章方差分析和回归分析203
9.1方差分析203
9.2回归分析209
9.3统计模型
习题9 226
部分习题参考答案228
参考文献237
附录常用概率统计表238
附表1泊松分布表238
附表2标准正态分布表240
附表3分布表241
附表4分布表243
附表5分布表244
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| 內容試閱：
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第1章随机事件与概率
在自然界与人类的社会活动中常常会出现各种各样的现象，归纳起来可分为两种现象:确定性的和随机性的.在确定的试验条件下必然会发生的现象称为确定性现象.经典的数学理论，如微积分、微分方程等，是研究确定性现象的有力工具.另外一类现象则不然，在一定条件下，可能发生，也可能不发生，具有不确定性，我们将这类现象称为随机现象.例如，将一枚硬币向上抛，着地时究竟正面向上还是反面向上，这在上抛前是无法断言的.又如，从含有不合格品的一批某种产品中任意抽一件检查，其检查结果可能是合格品也可能是不合格品，这在抽取之前无法准确地预言，但是，经过长期实践，人们知道，多次重复上抛同一枚硬币出现正面向上与反面向上的次数差不多各占一半.当从含有不合格品的一批产品中重复抽样时，抽到合格品的次数与抽取总次数之比呈现出某种稳定性.在个别试验中呈现不确定的结果，在大量重复试验中结果却呈现出某种规律性，这种规律性称为统计规律性.概率论与数理统计就是现代数学理论中研究随机现象统计规律性的一门基础学科，分为概率论与数理统计两部分.它与经典数学是相辅相成、相互渗透的.例如，弹道曲线可归结为微分方程问题，而实际中还需要用概率统计的方法将捉摸不定的空气阻力、弹身振动等因素加以考虑，分析炮弹飞行路线不确定性的规律.本章介绍概率论中的基本概念——样本空间、随机事件及其概率，并进一步讨论随机事件的关系与运算，以及概率的性质与计算方法.
11随机事件及其运算
为研究随机现象的统计规律性作准备，本节介绍随机试验、样本空间、随机事件及事件间的关系与运算.
一、随机试验
通常，把对自然现象的观察或进行一次试验，统称为一个试验.如果这个试验在相同的条件下可以重复进行，而且每次试验的结果事前无法预料，我们就称它为一个随机试验，并用字母E或E1，E2等表示.下面给出一些随机试验的例子.
试验E1：掷一枚均匀的硬币，观察正面H、反面T出现的情况.
试验E2：掷一枚骰子，观察出现的点数.
试验E3：记录某电话交换台在8：00~8：10内接到的呼唤次数.
试验E4：从一批灯泡中，任取一只，测试它的使用寿命.
上面所举的四个试验例子，尽管内容各异，但它们有着共同的特点：
1°可以在相同的条件下重复进行；
2°每次试验的可能结果不止一个，并且事前能明确试验的所有可能结果；
3°进行一次试验之前不能确定哪一个结果出现，但每次试验总是出现所有可能结果中的一个.
我们把这三个特点称为随机试验的三条特性.以下所提到的试验都是指具有上述特性的随机试验.
二、样本空间
要研究一个随机试验E，不仅要弄清楚这个试验所有可能的结果，还要了解它们的含义，而每一个可能的结果的含义是指试验后所观察（测）到的最简单的直接结果，它不包含其余的任何一个可能的结果.我们把试验后所观察（测）到的这种最简单的每一个直接结果称为该试验的一个基本事件.全体基本事件所构成的集合称为随机试验的样本空间.样本空间通常用字母Ω表示，为了区别不同试验的样本空间，也可以用Ω1，Ω2等表示.Ω中的元素即基本事件，也称为样本点，常用字母ω表示，必要时也可以用ω1，ω2等表示不同的样本点.
下面是本节四个例题中试验的样本空间.
试验E1的样本空间Ω1={H，T}.
试验E2的样本空间Ω2={1，2，3，4，5，6}.
试验E3的样本空间Ω3={0，1，2，3， }.
试验E4的样本空间Ω4={t|t≥0}，其中t为灯泡的寿命.但应当注意的是，样本空间的元素取决于试验的目的.若在E4中只考虑取得的灯泡的优劣，则E4的样本空间Ω4={优质品，合格品，次品}.
由此可见，样本空间可以是数集，也可以不是数集；样本空间可以是有限集，也可以是无限集.
三、随机事件
当研究随机试验时，人们通常关心的不仅是某个样本点在试验后是否出现，而更关心的是满足某些条件的样本点在试验后是否出现.例如，在E4中，测试灯泡的使用寿命以便确定该批灯泡的质量.若假定使用寿命超过1000小时为合格品，则人们关心的是试验结果是否大于1000小时.满足这个条件的样本点组成了样本空间的子集.我们把样本空间的子集称为随机事件，简称事件.事件通常用大写字母A，B，C等表示，也可以用语言描述加花括号来表示.例如，在E3中，{呼唤次数不超过5次}.显然，基本事件就是仅含一个样本点的随机事件，一个样本空间可以有许多随机事件.
随机试验中，若组成随机事件A的某个样本点出现，则称事件A发生，否则称事件A不发生.如E2中，若用A表示{出现奇数点}，即{1，3，5}，它是Ω2的子集，是一个随机事件，它在一次试验中可能发生，也可能不发生，当且仅当掷出的点数是1，3，5中的任何一个时，则称事件A发生.同样，若用B表示{出现偶数点}，即{2，4，6}，它是Ω2的子集，也是一个随机事件.
由于样本空间Ω是其本身的一个子集，因而也是一个随机事件，又因为样本空间Ω包含所有的样本点，所以每次试验必定有Ω中的一个样本点出现，即Ω必然发生，因而称Ω为必然事件.又因空集 总是样本空间Ω的一个子集，所以 也是一个随机事件，由于 不包含任何一个样本点，故每次试验 必定不发生，因而 称为不可能事件.
必然事件与不可能事件已无随机性可言，在概率论中，为讨论方便，仍把Ω与 当成两个特殊的随机事件.
四、事件间的关系与运算
在一个样本空间中，可以有许多随机事件.我们希望通过对较简单的事件的了解去掌握较复杂的事件.为此，需要研究事件之间的关系与事件之间的运算.由于事件是一个集合，因此事件之间的关系与运算应该按照集合论中集合之间的关系与运算来规定.
给定一个随机试验E，Ω是它的样本空间，事件A，B，C与Ai（i=1，2， ）都是Ω的子集.
1包含关系
若事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作AB（或B A）.图1-1给出了包含关系的一个直观的几何解释.
图1-1
例如，在试验E4中，A={灯泡使用寿命不超过200小时}，B={灯泡使用寿命不超过300小时}，则AB.
2相等关系
两事件A与B，若AB与BA同时成立，则
图1-2
称A与B相等或等价，记为A=B.
3和（或并）事件
两事件A，B中至少有一个发生的事件，称为A与B的和（或并）事件，记为A∪B.图1-2给出了这种运算的一个几何表示（阴影部分）.
例如，在某班级中，事件A={订阅语文报的学生}，事件B={订阅数学报的学生}，则和事件A∪B={订阅语文报或数学报的学生}.
两事件和的概念还可以推广到有限个和可列个事件的情形，也就是说∪nk=1Ak=A1∪A2∪ ∪An表示事件A1，A2， ，An中至少有一个发生的事件.∪∞k=1Ak=A1∪A2∪ 表示事件A1，A2， 中至少有一个发生的事件.
例如，某人进行射击，直到击中目标为止.若A={击中}，Ak={射击到第k次才击中}，显然有A=∪∞k=1Ak.
4积（或交）事件
图1-3
两事件A与B同时发生的事件，称为A与B的积（或交）事件，记为A∩B或AB，其几何表示如图1 3所示（阴影部分）.
例如，记事件A={订阅语文报的学生}，B={订阅数学报的学生}，则A∩B={同时订阅语文和数学报的学生}.
类似地，两事件积的概念也可以推广到有限个和可列个事件的情形.我们用∩nk=1Ak表示n个事件A1，A2， ，An的积事件；用∩∞k=1Ak表示可列个事件A1，A2， 的积事件.
图1-4
5互斥（互不相容）事件
如果事件A与B不能同时发生，即AB= ，则称A，B为互斥事件或互不相容事件.其几何表示如图1 4所示.
例如，在试验E2中，若Ak={出现k点}（k=1，2， ，6），显然有AiAj= （i≠j），称A1，A2， ，A6两两互斥.
6逆（对立）事件
如果事件A与B必有一个发生，但不能同时发生，即关系式A∩B= 与A∪B=Ω同时成立，则称事件B是事件A的逆事件或对立事件，记为=B.同理=A，其几何表示如图1-5所示.
例如，在试验E1中，若A={出现正面}，则={出现反面}.
7差事件
事件A发生而事件B不发生的事件，称作A与B的差，记为A-B，其几何表示如图1-6所示（阴影部分），并注意到A-B=A-AB=A.
图1-5
图1-6
由于事件的关系与运算和集合论中的关系与运算可以完全对照起来，是相一致的，所以事件之间的运算满足下列性质：
1°AA，A∪A=A，A∩A=A；
2°AB，BC，则AC（传递性）；
3°A∪B=B∪A，A∩B=B∩A（交换律）；
4°（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（A∩B）∩C=A∩（B∩C）（结合律）；
5°（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（分配律）；
6°A-B=A∩；
7°A∪B=∩，A∩B=∪；
8° AΩ，A∩BAA∪B，A∩BBA∪B；
性质7°可推广如下:
A1∪A2∪ ∪An=A1∩A2∩ ∩An，
A1∩A2∩ ∩An=A1∪A2∪ ∪An.
常把上述公式称为对偶公式或德摩根公式.
现将集合论中的术语与概率论中的术语对照列表，如表1 1所示.
表1-1
符号概率论集合论
Ω样本空间，必然事件全集
不可能事件空集
ω∈Ω基本事件Ω中的点（或称元素）
AΩ事件AΩ的子集A
AB事件B包含事件AA是B的子集
A=B事件A与事件B相等（或等价）集合A与B相等（或等价）
A∪B事件A与B至少有一个发生集合A与B的并集
A∩B事件A与B同时发生集合A与B的交集
事件A的对立事件集合A的余集（或补集）
A-B事件A发生但事件B不发生集合A与B的差集
A∩B= 事件A与B互斥集合A与B无公共元素
在具体问题中，常常需要利用给定的一些事件，通过它们的运算，表示出另外一些事件.
例1某位工人加工了三个零件，Ai={加工的第i个零件是正品}（i=1，2，3），试用Ai表示下列各事件：
（1）A={只有第一个零件是正品}；
（2）B={只有一个零件是正品}；
（3）C={至少有一个零件是正品}；
（4）D={正品零件不多于一个}.
解（1）A发生，意味着第二、第三个零件是次品，即A1发生，并且2与3同时发生，所以A=A123.
（2）B发生，并不指定哪一个是正品.三个事件{只有第i个零件是正品}（i=1，2，3）中任意一个发生，都意味着事件B发生，所以B=A123∪1A23∪12A3.
（3）C发生，就是指{第一、二、三个零件中至少有一个是正品}发生，所以C=A1∪A2∪A3.
（4）D发生，意味着三个零件中至多有一个正品，所以D=123∪A123∪1A23∪12A3.
例2电路如图1 7所示，令Ai={第i个接点开关闭合}（i=1，2，3，4），试用Ai表示事件B={L，R是通路}；C={L，R是断路}.
解B发生，只要三个事件{1闭合}，{2，3同时闭合}或{4闭合}中的任何一个发生即可，所以
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