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| 內容簡介： |
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《测度论与函数空间讲义》主要为学习现代偏微分方程理论课程和其他相关数学专业的研究生编写的一本讲义。内容由测度论基础、Lebesgue函数空间与Sobolev函数空间三部分组成。其中，测度论以Radon测度为核心，介绍相关积分与微分的基础理论，如Fubini定理、Radon-Nikodym-Lebesgue分解定理等。Lebesgue函数空间部分重点讲解其对偶空间的表示理论，同时引入实测度空间，作为适当的深化内容。Sobolev空间除介绍其基本性质外，还重点介绍逼近性质、有界延拓、迹、Sobolev嵌入定理、Rellich紧嵌入定理、Poincaré不等式等重要内容。*后，以椭圆型偏微分方程为例，简要介绍Sobolev空间在偏微分中的应用。
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| 目錄：
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目录丛书序前言第1章 测度论1.1 测度的定义与基本性质 3 1.1.1 外测度的基本性质 5 1.1.2 σ-代数， 正测度与 Borel 测度 8 1.1.3 π-系统与 λ-系统 11 1.2 Radon 测度 12 1.2.1 Radon测度的逼近性质 14 1.2.2 Lebesgue测度是 Radon 测度 17 1.3 可测函数 19 1.3.1 定义与基本性质 19 1.3.2 Egoroff定理与Lusin定理 23 1.3.3 依测度收敛 27 1.4 积分与极限 30 1.4.1 积分的定义与基本性质 30 1.4.2 极限与积分交换次序定理 31 1.5 正测度表示定理 38 1.6 Fubini定理 43 1.7 覆盖定理 51 1.7.1 Vitali覆盖引理 52 1.7.2 Besicovitch覆盖定理 55 1.8 Radon-Nikodym-Lebesgue分解定理 57 1.8.1 Radon测度的导数 57 1.8.2 Radon-Nikodym-Lebesgue定理 59 1.9 Lebesgue微分定理与 Hardy-Littlewood极大函数 62 1.9.1 Lebesgue微分定理 62 1.9.2 Hardy-Littlewood极大函数 64 本章小结 65 测度论与函数空间讲义第2章 Lp空间与实测度空间2.1 Lp空间的定义 682.1.1 H？lder不等式与Minkowski不等式 692.1.2 完备性 722.1.3 分布积分公式 752.2 Lp空间的基本性质 772.2.1 延拓性与单调性 772.2.2 稠密性 772.3 实测度空间 802.3.1 定义与基本性质 802.3.2 实测度的Radon-Nikodym-Lebesgue分解 832.4 *空间的对偶空间 852.5 *的对偶空间 902.6 L^p 空间的弱紧性 952.7 Hardy-Littlewood定理 98本章小结 100第3章 Sobolev空间3.1 预备知识 1023.1.1 整数阶光滑函数空间 1023.1.2 磨光算子 1043.1.3 光滑截断函数与光滑单位分解 1063.1.4 区域边界的光滑性 1073.1.5 空间嵌入 1083.2 H？lder连续函数空间 1093.3 Sobolev空间的定义及性质 1113.3.1 弱导数的定义 1113.3.2 Sobolev 空间的定义 1133.3.3 弱导数的基本性质 1163.4 光滑逼近 1193.4.1 局部逼近与整体逼近 1203.4.2 稠密性 1243.5 有界延拓定理 1253.5.1 延拓原理 1253.5.2 一般区域上的延拓 1273.6 迹定理 1303.6.1 Sobolev函数存在自然定义的边值 1303.6.2 零边值Sobolev函数 1323.7 嵌入定理 1343.7.1 Sobolev嵌入定理 1343.7.2 Morrey嵌入定理 1393.7.3 *的嵌入 1443.7.4 高阶Sobolev空间嵌入定理 1473.8 紧嵌入定理 1483.9 *空间的刻画 1513.9.1 逆与有界延拓 1513.9.2 *的等价刻画 1533.10 Poincaré不等式 1543.11 其他Sobolev空间 1553.11.1 分数阶Sobolev空间 1553.11.2 *空间 1563.12 Sobolev空间在偏微分方程中的应用举例 157本章小结 159参考文献
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