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| 編輯推薦： |
这不是一本普通的代数教材，而是一次对中学数学教育的根本性重建。伍鸿熙教授以数学家的严谨眼光，审视了传统中学代数教学（TSM）中根深蒂固的十大误区——从模糊的“变量”概念、死记硬背的“斜率”定义，到缺乏证明的“图像是直线”的结论。本书为教师提供了经过逻辑淬炼的、准确而连贯的数学内容，旨在将代数教学从“记忆的教条”转变为“理解的科学”。对于任何渴望在课堂上传递数学真谛的教育工作者而言，这本书都是一本不可或缺的指南和思想利器。同时，对于希望彻底厘清代数概念的学生，以及渴望有效辅导孩子的家长，本书也提供了一条清晰可靠、可循序渐进的学习路径。
1、直击教学痛点，纠正根深蒂固的数学代数错误
2、逻辑严密，重塑代数的知识体系
3、提供“现成的严谨”，赋能课堂教学
4、源于一线教师培训，实践指导性强
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| 內容簡介： |
本书以数学家的专业视角，系统梳理了中学（主要对应中国的初中阶段）代数的核心内容，包括一元与二元线性方程、线性函数、二次函数与二次方程、指数函数，以及线性不等式和最优化问题等.來源：香港大書城megBookStore,http://www.megbook.com.hk
本书特别强调定义的准确性、推导的严密性，注重阐释概念之间的内在联系，坚决摒弃“死记硬背”的教学方法. 经过本书的梳理，读者不但会对初等代数中的概念和逻辑建立清晰的认知，而且还会领悟到无论初等数学或是高等数学都应该遵循的那些共同准则.
本书配有大量例题，有些例题还会在不同章节通过不同的方法反复讨论，这使得本书在严谨系统的同时并不难读。读者通过精心设计的铺垫，不知不觉间就会掌握相关知识，并学会数学应有的思考问题和讨论问题的方式.
本书编写的初衷是为中学数学教师提供代数教学指南，以帮助他们更好地理解所讲授的知识，提高教学水平. 但本书循循善诱的讲解，实际上也非常适合学生自学. 而对于想辅导学生功课的家长来说，本书也是难得的参考.
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| 關於作者： |
【美国】伍鸿熙
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伍鸿熙 ：1963年获美国麻省理工学院博士学位，是国际著名微分几何学家，美国加州大学伯克利分校数学教授，美国国家数学教育专家咨询组成员。伍鸿熙教授1992年开始关注中小学数学教育，1998年至今一直致力于美国中小学数学教师的培训与数学教育的改革工作。
作为数学家，伍鸿熙教授不仅深入到中小学实地调研美国数学教育中存在的诸多问题，而且身体力行努力去解决。他发现目前许多中小学数学教师的师资培训很不理想，于是他花了大量的精力和时间，为中小学数学教师编写了一套从小学、初中直到高中的师资培训教材。伍鸿熙教授一直注重基础课程的讲授和教材的编写。三十年前，他在一本写给中国学生的数学教材的序言中曾引用唐朝魏征的话“求木之长者，必固其根本；欲流之远者，必浚其泉源”，以此来强调奠定好基础的重要性。
伍鸿熙教授一直关心、支持中国的数学发展与数学教育工作，积极推动中美两国数学与数学教育的交流。他自1975年以来，多次来华访问与讲学，出版了多本中文版的微分几何著作，并积极支持将他编著的中小学数学教师培训教材翻译成中文出版。
程晓亮
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程晓亮，曾任吉林师范大学数学学院院长，现任吉林师范大学教务处处长兼教学质量监控与评价中心主任。美国休斯顿大学、雪城大学访问学者。数学与应用数学国家一流专业建设点负责人，主持国家一流课程两门，吉林省数学拔尖学生培养基地负责人。数学与应用数学国家一流专业建设点负责人，主持国家一流课程两门，吉林省数学拔尖学生培养基地负责人。曾获全国教育硕士优秀教师、吉林省长白英才教育教学领军人才，吉林省教学新秀、四平市杰出青年教师等称号。
车明刚
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车明刚，现就职于吉林师范大学数学学院，副教授。1995年毕业于四平师范学院 ，获得理学学士学位；2006年毕业于东北师范大学 ，获得理学硕士学位。自1995年起在吉林师范大学从事数学基础课教学。主讲课程包括数学分析、高等代数、解析几何、微分几何、高等几何、几何基础、线性代数和高等数学等。主编《高等数学》和《高等几何》教材2部。主持校级科研、教研项目3项，参与省级以上项目5项。出版《几何原本》译本（第三人）。参与省级精品课程建设1门，国家课程建设1门。发表论文20余篇，获得了吉林师范大学科技进步奖两项。
郑晨
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郑晨，现任吉林师范大学数学学院，副教授。主要研究方向为中学数学教学与教师专业发展，主持或参与多项省部级教研项目，建设国家一流课程2项，指导学生获全国大学生数学建模竞赛国家二等奖 。2020年获评吉林师范大学教学标兵 。
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| 目錄：
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目录
第1章 符号表达式
1.1 符号使用中的基本约定
1.2 表达式和恒等式
1.3 梅森素数和有限等比级数
1.4 多项式和运算顺序
1.5 有理表达式
第2章 从语言信息到符号的转化
2.1 等式和不等式
2.2 一些转化的例子
第3章 一元线性方程
3.1 解线性方程
3.2 一些文字题
第4章 二元线性方程以及它们的图像
4.1 平面坐标系
4.2 二元线性方程组
4.3 斜率的概念
4.4 证明线性方程的图像是直线
4.5 每一条直线都对应一个线性方程的图像
4.6 有用的事实和例子
第5章 联立线性方程
5.1 线性方程组的解决方案和几何解释
5.2 求解的代数方法
5.3 平行线的斜率的特征
5.4 可解的代数判据
5.5 部分分式和勾股数
5.6 补充
第6章 函数和函数图像
6.1 基本定义
6.2 为什么要引入函数？
6.3 一些图像的例子
6.4 关于图像和坐标系的注记
第7章 线性函数与比例推导
7.1 恒定速率及线性函数
7.2 比例推导
第8章 线性不等式及其图像
8.1 不等式是怎样出现在生活中的？
8.2 符号转换
8.3 关于不等式及其应用的基本事实
8.4 平面上不等式的图像
8.5 制作问题的解
8.6 平面上线性函数的行为
第9章 指数
9.1 正整数指数
9.2 有理指数
9.3 指数法则
9.4 科学记数法
9.5 有理指数的三个注记
第10章 二次函数及其图像
10.1 二次方程
10.2 一类特殊的二次函数
10.3 二次函数的性质
10.4 图像和抛物线
10.5 一些应用
附录 来自《预代数》的知识点
第1部分 假设
第2部分 定义
第3部分 定理和引理
参考文献
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| 內容試閱：
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前言
学习数学的一个主要障碍是，随着年级的升高，如何应对抽象的增加。
本书以及《数学家讲解中学数学——预代数》都是写给老师，特别是初中老师的教材。它们适用于6-8年级的数学教学。在本书中，我们把中学代数表述成算术——自然数、分数、小数、负数的直接延续，且假设读者对几何的全等和相似有一个基本的了解。在附录中，可以找到对《预代数》中大部分相关知识的简要总结。
本书中提到的主题可以在任何初高中代数学Ⅰ的课程中找到：一元和二元线性方程、一元和二元线性不等式、联立线性方程组、函数的概念、多项式函数与指数函数，以及对线性函数与二次函数的详细研究。这些主题都是常规的。因此，有人会问本书为什么值得去写。总的来说，这个问题的答案已经在《预代数》的序言中给出了。以下是更针对入门性质的中学生代数的教学与学习的回答。
目前，“全民代数”是一个国家目标，有各种各样的理论说为这么一个目标感觉难以实现，有没有可能适当的课堂教具还没有得到充分开发，最新的技术进展尚未完全融入教学，或者教学轻视了所谓的意义建构、概念理解和高阶思维技巧呢？或许是。然而，这些质疑都忽视了一个根本问题：有充分证据表明，学生学不会代数，不是因为他们不喜欢产品的包装，而是因为他们发现产品本身是难以理解的。我们将参考这一产品——过去四十年几乎所有标准教科书中的数学。这些教材往往不能以引人入胜的方式向学生清晰而准确地解释他们应该学习什么。调查数学不可学的教研人员似乎没有考虑过一个事实：学生课本或标准职业培训材料中充满了大大小小的歧义和错误。简而言之，传统教材是不好学的。在数学内容正确的版本能提供给所有人之前，得出任何学生学不会代数的原因都为时过早。鉴于此，此书存在的主要理由是，它对代数I的标准数学主题提供了一个合乎逻辑且有关联性的阐释。不仅适合八九年级学生的水平，还满足了在强调定义、精确性、推导、关联性和目的性的最低数学要求。
我们对本书设定的年级水平的要求绝不意味着这是一本学生教材。本书毫无疑问是写给高阶关系数学的老师们的。这个要求想表明本书已经做了审慎的努力，来最小化本书的内容与中学老师必须教的内容的差距。因此，本书不会涉及任何高等主题，比如向量空间、线性变换、群、环、域，特别是有限域。事实证明，在这个阶段，对这种高等内容的需求不是至关重要的，在任何情况下，本书都不会出现高等内容的主题。相反，我们将致力于探究中学代数标准主题底层的基本结构。然而，在探究过程中，对高等内容的需求会（经常很微妙地）不时浮现。在这些情况下，我们将毫不回避地给出完整的解释，以便数学讨论达成严谨闭环。尽管如此，我们也将明确指出，这些高等内容更多是为了拓宽老师的知识基础，而不是为了学校的课堂演示。
数学基本原理在中学代数教学中是至关重要的，因为比起算术，代数本质上是一个抽象的学科，传统教材在抽象的情境中缺乏准确的定义与合乎逻辑的推理已经使这个学科变得不可学了。让我们更详细地考虑下列传统教材代数部分中的缺陷的具体表现。
1. 传统教材认为“变量”的概念是中学代数的基础。许多教育机构的人，在得知“变量”不是数学上良定义的概念，只是被非正式地用于数学讨论以去除过量空话时可能会感到惊讶。一个人不应该花费宝贵的教学时间去教一个虚构的概念，更不该使它成为代数学习的基石。当教科书跟着效仿，把“变量”阐述为一个可以改变或变化的数值时，就把初学者挡在了代数的大门之外。
2. 一旦“变量”的概念扎根，方程自然会根据“变量”定义。这就产生了一个问题，两个变量表达式相等的意思是什么？如果一个变量可以表示只有一个数字，两个变量表达式相等意味着对它们表示的所有数字表达式都相等吗？如果是这样，这难道不是一个恒等式吗？如果不是这样，那么哪些数字会让它们相等呢？当不能回答类似这些基本问题时，一个必然的结论是，中学代数所讲授的解方程的基本过程就成了脱离数学推理的教条。
3. 传统教材完全把非坚直线的斜率的概念当作死记硬背的技巧教给学生：在直线上固定两个选好的点并计算它们的“升程比行程”。根本没有提到一个事实，如果选择另外两点，“升程比行程”的结果仍然是一样的。一些学生甚至忽略“升程比行程”，只希望每条直线都配备一个方程，以便他们能通过常数方便地确定直线的斜率。近来，关于斜率的误解范围已经被悉数记录，但是教育研究文献似乎并未注意到传统教材中的这个基本数学错误，以及围绕这个概念的推理的缺失。
4. 没有正确的斜率定义的自然后果是，对二元线性方程及其图像间的相互关联缺乏任何解释。例如，为什么二元线性方程的图像是一条直线？每条直线必然是某个二元线性方程的图像吗？传统教材对第一个问题的回答是，当线性方程图像上的几个点被绘制出来时，“它们看上去是直的”推理没有起任何作用。因此，学生只能死记硬背地学习如何找到满足一些几何条件的直线的方程。由于线性方程是代数I前半部分的主要内容，这就意味着学生与代数的初次接触主要是沉浸在死记硬背的学习中。
5. 两条直线平行等价于两条直线有相同的斜率的定理通常作为平行线的定义或关键概念出现在教科书中。同样地，两条直线垂直等价于两直线斜率积为-1的定理经常作为垂直的看似深奥的定义。因为学生从低年级就已经熟悉了平行和垂直的概念，所以他们对这个突然的改变感到困惑。数学概念有持久性吗？还是容易随着年级变化呢？他们可能从这样的困惑中得出结论：代数让人捉摸不透。这就是目前讨论的数学学习中的“意义构建”没有真正起作用的原因之一；除非有了一个讲得通的课程，我们无法让学生弄懂数学的意义。
6. 在小学和中学，学生们已经广泛地使用了“恒定速率”这个概念（比如匀速），但是在传统教材中这个概念没有准确的定义。传统教材中有关于“比例推导”这个概念的深奥讨论，隐含的假设是如果学生对“比例推导”有了概念上的理解，他们将可以掌握恒定速率。代数入门课是弄清“恒定速率”的第一次机会，可以指明它表示什么意思且它为什么对应于适当的函数的线性。然而这几乎没出现过。这是中小学课程脱节的主要例子。
7. 方程的图像的概念没有被准确地定义，因此没有被强调。这导致了关于图像的一些简单事实，例如联立线性方程组的解是两条直线图形交点的坐标，变成了信条而不是定义的简单逻辑结论。如果学生要做的全是信条似的记忆，那么他们不会学好数学。不足为奇，一些学生会失去信心，那时任何种类的学习——死记硬背或其他方法，都变得不可能。
8. 在传统教材中，含有两个变量的不等式的图像几乎从未定义过，而且半平面的概念也没有定义。结果，线性不等式的图像是一个半平面的定理变为一个规定或是定义，而无法确定到底是哪个。要求学生学习线性不等式和线性规划，等于要求他们靠死记硬背穿越一片不连续的阴暗的沼泽地，我们却认为是在教数学。在这种情况下，数学学习怎么会产生呢？
9. 正数的有理指数概念是大量困惑的来源。传统教材使我们相信，对任意正数，a?=1是一个定理而不是定义，对 a?? = 1/a? 也是如此。此外，传统教材没有解释，我们想要一个对所有有理数r的定义是因为，指数函数在x是任意数时具有特定的值。后果是，指数法则成了另一套毫无意义的死记硬背的奇怪符号，而不是指数函数的重要性质。
10. 传统教材对二次方程和二次函数的表述很混乱：没有可供理解的概念框架，只有太多的事实要记住。例如，学生学习如何分解首项系数不为1的二次多项式，学习求根公式、图像的对称轴公式、二次函数图像的顶点公式等等。这些又是如何相互关联的呢？
如果一个人认真上完传统教材的代数课程，就会发现这些乃至许多更严重的数学问题。因此，学生学习代数的前景令人畏惧：这好比走过一个因人类错误而满地的雷区。我们至少可以拆除那些地面（和一些学生随之而来的恐惧）——换句话说，给学习一个机会。本书最基本的目标是给你确切地实现它的工具。简言之，你将会在接下来的内容中找到解决前面这些困难的方法。
我们坚信对中学老师的任何形式的职业培训都必须对传统教材中明显的错误加以必要的纠正。自2006年起，本书的内容就以各种不同的呈现形式用于在职与职前的职业培训中。
《共同核心州立数学标准》的出台应该减少了老师们正确教代数的困难。如果他们希望在自己的课堂上教本书的内容，那么现在有了一个保障，因为在共同核心标准时代，本书里许多过去常常被认为怪异的东西正变为可以接受的标准。我只希望在即将到来的几年里，可以写出更好的教科书，培养出把中学代数学得更好的学生。
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